Теория
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.
Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.
Характеристики распределения
Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины с параметром смещения и масштаба (или, что тоже самое, дисперсией ) имеет следующий вид:
.
Функция распределения такой величины не выражается через элементарные функции и записывается по определению через интеграл Римана как
Функция распределения стандартной нормальной случайной величины (т. е. при , ) часто обзначают как :
Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через
Характеристическая функция нормального распределения имеет вид
где — нормально распредёленная с параметрами и случайная величина.
Производящая функция моментов определена для всех вещественных t задаётся формулой