Главная » Теория вероятности » Примеры решения на нормальное распределение

Теория

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Характеристики распределения

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины с параметром смещения \mu и масштаба \sigma (или, что тоже самое, дисперсией \sigma^2) имеет следующий вид:

p(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2 \pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right).

Функция распределения такой величины не выражается через элементарные функции и записывается по определению через интеграл Римана как

F(x) = \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x\exp\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)dt.

Функция распределения стандартной нормальной случайной величины (т. е. при \mu = 0, \sigma = 1) часто обзначают как {\Phi}():
{\Phi} (x) = F (x; 0, 1) = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int _{-\infty} ^x \exp \left( -\frac {t^2} 2 \right) dt.

Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через {\Phi} (\cdot):

F(x;\mu,\sigma) = {\Phi}\left(\frac{x-\mu}\sigma\right)
Характеристическая функция нормального распределения имеет вид

f (t) = {E} \{e ^ {i t \xi}\} = \exp \left( i \mu t-\frac {\sigma^2 t^2} 2 \right)

где \xi \sim N (\mu, \sigma^2) — нормально распредёленная с параметрами \mu и \sigma случайная величина.

Производящая функция моментов \xi определена для всех вещественных t задаётся формулой

M (t) = {E} \{e ^ {t \xi}\} = \exp \left( \mu t + \frac {\sigma^2 t^2} 2 \right).