Тригонометрические формулы

Тригонометрия (от греч. ???????? — треугольник и ?????? — измерять) — математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

В этой заметке мы приведем основный формулы тригонометрии.

Основные тригонометрические тождества

  sin^2\alpha +cos^2\alpha=1

  tg\alpha*ctg\alpha=1

  tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}

  actg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}

  1+tg^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha}

  1+ctg^2\alpha=\frac{1}{sin^2\alpha}

Формулы сложения

  sin(\alpha+\beta)=sin\alpha*cos\beta+sin\beta*cos\alpha

  sin(\alpha-\beta)=sin\alpha*cos\beta-sin\beta*cos\alpha

  cos(\alpha+\beta)=cos\alpha*cos\beta-sin\alpha*sin\beta

  cos(\alpha-\beta)=cos\alpha*cos\beta+sin\alpha*sin\beta

  tg(\alpha+\beta)=\frac{(tg\alpha+tg\beta)}{1-tg\alpha*tg\beta}

  tg(\alpha-\beta)=\frac{(tg\alpha-tg\beta)}{1+tg\alpha*tg\beta}

  ctg(\alpha+\beta)=\frac{(ctg\alpha*ctg\beta+1)}{ctg\beta-ctg\alpha}

  ctg(\alpha-\beta)=\frac{(ctg\alpha*ctg\beta-1)}{ctg\beta+ctg\alpha}

Формулы двойного угла

  cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha

  cos2\alpha=2cos^2\alpha-1

  cos2\alpha=1-2sin^2\alpha

  sin2\alpha=2sin\alpha*cos\alpha

  tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}

  ctg2\alpha=\frac{ctg^2\alpha-1}{2ctg\alpha}

Формулы тройного угла
  sin3\alpha=3sin\alpha-4sin^3\alpha

  cos3\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha

  tg3\alpha=\frac{3tg\alpha-tg^3\alpha}{1-3tg^2\alpha}

  ctg3\alpha=\frac{3ctg\alpha-ctg^3\alpha}{1-3ctg^2\alpha}

Формулы понижения степени
  sin^2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2}

  sin^3\alpha=\frac{3sin\alpha-sin3\alpha}{4}

  cos^2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2}

  cos^3\alpha=\frac{3cos\alpha+cos3\alpha}{4}

  sin^2\alpha*cos^2\alpha=\frac{1-cos4\alpha}{8}

  sin^3\alpha*cos^3\alpha=\frac{3sin2\alpha-sin6\alpha}{32}

Переход от произведения к сумме

  sin\alpha*cos\beta=\frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta))

  sin\alpha*sin\beta=\frac{1}{2}(cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta))

  cos\alpha*cos\beta=\frac{1}{2}(cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta))